Question

设函数f （x）=log₂（ a^x-b^x），且f（1）=1，f（2）=log₂12
（1）求a，b的值．
（2）当x∈[1，2]时，求f（x）的最大值．
（3）p为何值时，函数g（x）=a^x-b^x+p与x轴有两个交点．

Answer 1

分析：（1）由已知f（1）=1，f（2）=log₂12代入到f（x）中求得a、b的值即可；
（2）利用（1）求出f（x），利用换元法求得最小值即可；
（3）令g（x）=4^x-2^x+p=0，则4^x-2^x+p=0有两个不同解．利用换元法：令t=2^x则t＞0故t²-t+p=0有两个不同正根转化为二次方程的问题解决即可．

解答：解：（1）由题意，列方程组

log 2(a -b)=1 log 2(a2-b2)=log 212

求得a=4，b=2..（4分）
（2）由（1）知f（x）=log₂（4^x-2^x）=log 2[ (2x-

1

2

)  2-

1

4

]
∵1≤x≤2∴2≤2^x≤4（2分）
故t=(2x-

1

2

) 2-

1

4

在[1，2]上单调递减
∴f（x）的最大值=f（2）=log₂12（2分）
（3）令g（x）=4^x-2^x+p=0，则4^x-2^x+p=0有两个不同解．
令t=2^x则t＞0故t²-t+p=0有两个不同正根（2分）
即△=1-4p＞0且p＞0，（2分）
解得0＜p＜1/4．（2分）

点评：考查学生利用待定系数法求函数解析式的能力，理解函数极值及其几何意义的能力，解答关键是利用换元法进行转化的能力．