Question

设函数f（x）的定义域为D，若存在非零数l使得对于任意x∈M（M⊆D）有x+l∈D且f（x+l）≥f（x），则称f（x）为M上的l高调函数．现给出下列命题：
①函数f（x）=(

1

2

)x为R上的1高调函数；
②函数f（x）=sin2x为R上的π高调函数
③如果定义域为[1，+∞）的函数f（x）=x²为[-1，+∞）上m高调函数，那么实数m的取值范围是[2，+∞）其中正确的命题是

 

．（写出所有正确命题的序号）

Answer 1

分析：函数f（x）=(

1

2

)x为R上的递减函数，由正弦函数知函数f（x）=sin2x为R上的π高调函数，函数f（x）=x²为[-1，+∞）上m高调函数，只有[-1，1]上至少需要加2．

解答：解：∵函数f（x）=(

1

2

)x为R上的递减函数，故①不正确，
∵sin2（x+π）≥sin2x
∴函数f（x）=sin2x为R上的π高调函数，故②正确，
∵如果定义域为[1，+∞）的函数f（x）=x²为[-1，+∞）上m高调函数，
只有[-1，1]上至少需要加2，
那么实数m的取值范围是[2，+∞），故③正确，
故答案为：②③

点评：本题考查基本初等函数的性质，是一个特新定义问题，注意对于条件中所给的一个新的概念，要注意理解．