Question

已知数列满足递推关系式：，.
（1）若，证明：（ⅰ）当时，有；（ⅱ）当时，有.
（2）若，证明：当时，有.

Answer 1

证明略

因为，故，即数列为递增数列.
（1）（ⅰ）由及可求得，于是当时，，于是，即当时，.
…………………………5分
（ⅱ）由于时，，所以时，.
由可得.
先用数学归纳法证明下面的不等式成立：  （）.
Ⅰ）当时，，结论成立.
Ⅱ）假设结论对成立，即，则结合（ⅰ）的结论可得
，即当时结论也成立.
综合Ⅰ），Ⅱ）可知，不等式对一切都成立.
因此，当时，，即.
又，，所以当时，有.
…………………………10分
（2）由于，而数列为递增数列，故当时，有.
由可得，而，于是
.
下面先证明：当时，有                       （*）
Ⅰ）根据及计算易得，
，而，
故，即当时，结论成立.
Ⅱ）假设结论对成立，即.
因为，而函数在时为增函数，所以
，
即当时结论也成立.
综合Ⅰ），Ⅱ）可知，不等式对一切都成立.
于是当时，，故，所以.
…………………………20分