Question

【题目】已知函数（其中）.

（Ⅰ） 当时，若在其定义域内为单调函数，求的取值范围；

（Ⅱ） 当时，是否存在实数，使得当时，不等式恒成立，如果存在，求的取值范围，如果不存在，说明理由（其中是自然对数的底数，＝2.71828…）.

Answer 1

【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） .

【解析】

试题分析：（Ⅰ）首先求得导函数，然后分、讨论函数的单调性，由此求得的取值范围；（Ⅱ） 首先求得导函数，然后分、讨论函数的单调性，由此求得的取值范围.

试题解析：（Ⅰ） 由题，，.

①当时，知，则是单调递减函数；

②当时，只有对于，不等式恒成立，才能使为单调函数，只需，解之得，此时.

综上所述，的取值范围是

（Ⅱ） ，其中，.

（ⅰ） 当时，，于是在上为减函数，则在上也为减函数，

知恒成立，不合题意，舍去.

（ⅱ） 当时，由得.列表得

	（0，）		（，）
	＋	0	－
	↗	极大值	↘

①若，即，则在上单调递减，

知，而，

于是恒成立，不合题意，舍去.8分

②若，即，

则在（，）上为增函数，在（，）上为减函数，

要使在恒有恒成立，则必有

则所以

由于，则，所以.

综上所述，存在实数，使得恒成立.12分