Question

已知x＞

1

2

，函数f（x）=x²，h（x）=2e lnx（e为自然常数）．
（Ⅰ）求证：f（x）≥h（x）；
（Ⅱ）若f（x）≥h（x）且g（x）≤h（x）恒成立，则称函数h（x）的图象为函数f（x），g（x）的“边界”．已知函数g（x）=-4x²+px+q（p，q∈R），试判断“函数f（x），g（x）以函数h（x）的图象为边界”和“函数f（x），g（x）的图象有且仅有一个公共点”这两个条件能否同时成立？若能同时成立，请求出实数p、q的值；若不能同时成立，请说明理由．

Answer 1

（I）证明：记u（x）=f（x）-h（x）=x²-2elnx，
则u′(x)=2x-

2e

x

，
令u'（x）＞0，注意到x＞

1

2

，可得x＞

e

，
所以函数u（x）在(

1

2

，

e

)上单调递减，在(

e

，+∞)上单调递增．u(x)min=u(

e

)=f(

e

)-h(

e

)=e-e=0，即u（x）≥0，
∴f（x）≥h（x）．　
（II）由（I）知，f（x）≥h（x）对x＞

1

2

恒成立，当且仅当x=

e

时等号成立，
记v（x）=h（x）-g（x）=2elnx+4x²-px-q，则
“v（x）≥0恒成立”与“函数f（x），g（x）的图象有且仅有一个公共点”同时成立，
即v（x）≥0对x＞

1

2

恒成立，当且仅当x=

e

时等号成立，
所以函数v（x）在x=

e

时取极小值，
注意到v′(x)=

2e

x

+8x-p=

8x2-px+2e

x

，
由v′(

e

)=0，解得p=10

e

，
此时v′(x)=

8(x- e )(x- e 2 )

x

，
由x＞

1

2

知，函数v（x）在(

1

2

，

e

)上单调递减，在(

e

，+∞)上单调递增，
即v(x)min=v(

e

)=h(

e

)-g(

e

)=-5e-q=0，q=-5e，
综上，两个条件能同时成立，此时p=10

e

，q=-5e．