Question

如图所示，抛物线y=4-x²与直线y=3x的两交点为A、B，点P在抛物线上从A向B运动.

（1）求使△PAB的面积最大的P点的坐标(a,b);
(2)证明由抛物线与线段AB围成的图形，被直线x=a分为面积相等的两部分.

Answer 1

（1）P点的坐标为（-,）时，△PAB的面积最大（2）证明见解析

（1） 解方程组，得x₁=1,x₂=-4.
∴抛物线y=4-x²与直线y=3x的交点为
A（1，3），B（-4，-12），
∴P点的横坐标a∈(-4,1).
点P（a,b)到直线y=3x的距离为d=,
∵P点在抛物线上，∴b=4-a²，
=·(4-3a-a²)′= (-2a-3)=0,
∴a=-，即当a=-时，d最大，
这时b=4-=,
∴P点的坐标为（-,）时，△PAB的面积最大.
（2） 设上述抛物线与直线所围成图形的面积为S,
位于x=-右侧的面积为S₁.
S=（4-x²-3x)dx=,
S₁=（4-x²-3x)dx=,
∴S=2S₁,即直线x=-平分抛物线与线段AB围成的图形的面积.