Question

已知向量，设f（x）=a•b．
（Ⅰ）求函数f（x）在[0，2π]上的零点；
（Ⅱ）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，b=2，sinA=2sinC，求边c的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）==．
由，得，，或，k∈Z
由x∈[0，2π]，得x=π或．故函数f（x）的零点为 π 和 ．
（Ⅱ）由=，A∈（0，π），得．
由sinA=2sinC得 a=2c．又b=2，由a²=b²+c²-2bccosA，得，
即 3c²+2c-4=0，∵c＞0，∴．
分析：（Ⅰ）利用两个向量的数量积公式以及三角公式化简函数f（x），利用函数零点的定义求得x=π或．
（Ⅱ）由=，A∈（0，π），得．由正弦定理得a=2c，
由a²=b²+c²-2bccosA 求出c．
点评：本题考查两个向量的数量积的运算，函数的零点的概念，同角三角函数的基本关系的应用，
正弦定理、余弦定理的应用．