Question

如图点A_n（x_n，y_n）是曲线y²=2x（y≥0）上的点，点B_n（a_n，0）是x轴上的点，△B_n-1A_nB_n是以A_n（x_n，y_n）为直角顶点的等腰三角形，其中n=1，2，3，…，B₀为坐标原点．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）求数列b_n=2^n-1，求最小正整数m，使得对任意的n∈N^*，当n＞m时，a_n＜b_n成立．

Answer 1

分析：（I）由已知得抛物线方程为y=2x²，y^′=2x，根据△B_n-1A_nB_n是等腰直角三角形得到：y_n-y_n-1=2，通过解直线与抛物线组成的方程组即可求出{x_n}，{y_n}的通项公式，最后写出数列{a_n}的通项公式．
（II）本小题考查的知识点是数学归纳法，先猜想，当n∈N^*且n＞8时，a_n＜b_n成立．要证明当n＞8时，a_n＜b_n，我们要先证明当n=8时，a_n＜b_n成立．再假设n=k时a_n＜b_n成立，进而证明出n=k+1时a_n＜b_n成立，即可得到对于任意当n∈N^*且n＞8时，a_n＜b_n成立．

解答：解：（I）∵点A_n（x_n，y_n）在曲线y²=2x（y≥0）上，
∴An(

y 2 n

2

，yn)，An-1(

y 2 n-1

2

，yn-1)．
∵△B_n-1A_nB_n是等腰直角三角形，∴

y 2 n

2

-

y 2 n-1

2

=yn+yn-1，
∵y_n+y_n-1≠0，∴y_n-y_n-1=2．
由

y2=2x y=x

可以解得x₁=y₁=2，
∴y_n=2+2（n-1）=2n，n∈N^*．                                
∴xn=

y 2 n

2

=2n2，∴a_n=x_n+y_n=2n（n+1），n∈N^*．        
（II）∵当n=8时，a₈=144，b₈=128，当n=9时，a₉=180，b₉=256，…，
可以猜想，当n∈N^*且n＞8时，a_n＜b_n成立．下面用数学归纳法证之．   
设n=k＞9时，a_k＜b_k成立，即，2^k-1＞2k（k+1）成立，
当n=k+1时，b_k+1=2^k=2×2^k-1＞4k（k+1）=2（k+1）（k+2）+2（k+1）（k-2）
∵k＞9，∴（k+1）（k-2）＞0，∴a_k+1＜b_k+1成立．
综上，m=8时，对任意的n∈N^*，当n＞m时，a_n＜b_n成立．

点评：本题主要考查数列与解析几何综合的知识点，本题是一道综合性比较强的习题，解答本题的关键是准确求出数列{x_n}，{y_n}及{a_n}的通项公式，熟练利用数学归纳法等知识点，此题难度较大．