Question

如图，P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n）（0＜y₁＜y₂＜…＜y_n）是曲线C：y²=3x（y≥0）上的n个点，点A_i（a_i，0）（i=1，2，3，…，n）在x轴的正半轴上，且△A_i-1A_iP_i是正三角形（A₀是坐标原点）．
（Ⅰ）求出a₁，a₂，a₃，并猜想a_n关于n的表达式（不需证明）；
（Ⅱ）设bn=

1

an+1

+

1

an+2

+

1

an+3

+…+

1

a2n

，若对任意的正整数n，当m∈[-1，1]时，不等式t2-2mt+

1

6

＞bn恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由点A₁（a₁，0）得到等边三角形的边长为a₁根据等边三角形的性质得P₁的坐标为（

a1

2

，

3 a1

2

）代入到y²=3x中求出即可得到a₁，然后同理求出a₂和a₃，然后猜想a_n=n（n+1）（n∈N^*）；
（Ⅱ）把猜想的通项公式代入到b_n中化简得到通项公式，利用b_n+1-b_n得到小于0，所以数列为递减数列，所以当m∈[-1，1]时，不等式t2-2mt+

1

6

＞bn恒成立只需要求出b_n的最大值，即可求出t的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）由点A₁（a₁，0）得到第一个等边三角形的边长为a₁，
根据等边三角形的性质得P₁的坐标为（

a1

2

，

3 a1

2

）
代入到y²=3x中

3

4

a₁²=

3

2

a₁，解得a₁=2；
又因为点A₂（a₂，0），所以得第二个等边三角形的边长为a₂-2，
则P₂的坐标为（

a2-2

2

，

3 (a2-2)

2

）代入到y²=3x中解得a₂=6；
因为A₃（a₃，0），所以第三个等边三角形的边长为a₃-6，
则P₃的坐标为（

a3-6

2

，

3 (a3-6)

2

）代入到y²=3x中解得a₃=12．
所以a₁=2，a₂=6，a₃=12；
猜想：a_n=n（n+1）（n∈N^*）．

（Ⅱ）bn=

1

an+1

+

1

an+2

+

1

an+3

++

1

a2n

=

1

(n+1)(n+2)

+

1

(n+2)(n+3)

++

1

2n(2n+1)

=

1

n+1

-

1

2n+1

=

n

2n2+3n+1

=

1

(2n+ 1 n )+3

．
bn+1-bn=

-(2n2+2n-1)

(2n2+7n+6)(2n2+3n+1)

＜0(n∈N^*）
即b_n+1＜b_n，所以数列{b_n}是递减数列．
所以，当n=1时，(bn)max=

1

6

．
t2-2mt+

1

6

＞bn（?n∈N^*，?m∈[-1，1]）?t2-2mt+

1

6

＞(bn)max=

1

6

，
即t²-2mt＞0（?m∈[-1，1]）?

t2-2t＞0  t2+2t＞0 •

解之得，实数t的取值范围为（-∞，-2）∪（2，+∞）．

点评：考查学生会根据数列的递推式判断数列是增数列还是减数列，理解函数恒成立时所取的条件，还考查学生归纳总结，作出猜想的能力．