Question

【题目】设数列A： ， ,… (N≥2)。如果对小于n(2≤n≤N)的每个正整数k都有 ＜ ，则称n是数列A的一个“G时刻”。记“G（A）是数列A 的所有“G时刻”组成的集合。
（1）对数列A：-2，2，-1，1，3，写出G（A）的所有元素；
（2）证明：若数列A中存在 使得 > ，则G（A） ；
（3）证明：若数列A满足 - ≤1（n=2,3, …,N）,则GA．的元素个数不小于 - 。

Answer 1

【答案】
（1）

解：

（2）

证明：因为存在 ，设数列 中第一个大于 的项为 ，则 ，

其中 ，所以 ，

（3）

证明：设 数列的所有“ 时刻”为 ，

对于第一个“ 时刻” ，有 ， ，则

．

对于第二个“ 时刻” ，有 （ ）．

则 ．

类似的 ，…， ．

于是， ．

对于 ，若 ，则 ；

若 ，则 ，否则由⑵，知 中存在“ 时刻”，与只有 个“ 时刻”矛盾．

从而， ，证毕

【解析】（1）结合“G时刻”的定义进行分析；（2）可以采用假设法和递推法进行分析；（3）可以采用假设法和列举法进行分析
【考点精析】掌握数学归纳法的定义是解答本题的根本，需要知道数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法．