Question

已知集合A={x|ax+1=0}，M={x|（x+1）（x-3）²（x-5）＞0}，
（Ⅰ）用区间表示集合M；
（Ⅱ）若A∩（C_RM）=A，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）根据集合M中的不等式，画出相应的图形，根据图形得出不等式的解集，确定出集合M；
（II）若A∩（C_RM）=A，得A⊆C_RM，则可分为三种情况，一是A为空集，二是A不为空集，构造关于a的不等式组，解不等式组即可得到实数a的取值范围．

解答：解：（I）由集合M中的不等式得（x+1）（x-5）＞0，且x≠3，
画出相应的图形，如图所示：

由图形可得集合M=（-∞，-1）∪（5，+∞）；
（II）由（I）得C_RM=[-1，5]，
∵A∩（C_RM）=A，
∴A⊆C_RM，
有三种情况：
①A≠∅时，-

1

a

∈[-1，5]，∴a≤-

1

5

或a≥1；
②A=∅时，∴a=0．
综上，a的取值范围为：(-∞，-

1

5

)∪{0}∪[1，+∞)．

点评：此题考查了一元二次不等式的解法，以及交集、空集的意义，利用了转化、分类讨论及数形结合的思想，学生做题时应借助图形．本题的解答过程中易忽略A为空集的情况．