Question

【题目】设函数f（x）= ．
（1）求函数f（x）在[0，2]上得单调区间；
（2）当m=0，k∈R时，求函数g（x）=f（x）﹣kx2在R上零点个数．

Answer 1

【答案】
（1）解： ，

当2﹣m≤0，即m≥2时，x∈[0，2]，f′（x）≥0，f（x）在[0，2]上单调递增；

当0＜m＜2时，令f′（x）＜0，得0＜x＜2﹣m，令f′（x）＞0，得2﹣m＜x＜2，

所以f（x）在[0，2﹣m]上单调递减，在[2﹣m，2]上单调递增；

当m≤0时，f′（x）≤0，f（x）在[0，2]上单调递减

（2）解：由g（x）=f（x）﹣kx2=0 ，

令 ， ，由 或 ，

由 或 ，

∴h（x）在 上单调递减，在 上单调递增

在x＜0时，当 时，h（x）取得极小值，且 ，

当x→﹣∞时，h（x）→+∞；x→0时，h（x）→+∞．

在x＞0时，当 时，h（x）取得极小值 ，

当x→0时，h（x）→+∞，x→+∞时，h（x）→0．

综上结合图形得当 没有零点，当 有一个零点，

当 或 有二个零点，当 时有三个零点

【解析】（1）求出函数的导数，通过讨论m的范围，确定导数的符号，从而求出函数的单调区间即可；（2）将m=0代入g（x），令g（x）=0，分离出k，根据函数的单调性求出k的范围，从而判断出零点的个数．
【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．