Question

已知圆，若椭圆

的右顶点为圆的圆心，离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）若存在直线l:y=kx，使得直线与椭圆分别交于两点，与圆分别交于两点，点在线段AB上，且，求圆M的半径r的取值范围.

Answer 1

（1） （2）

【解析】

试题分析：（1）设椭圆的焦距为2c，由椭圆右顶点为圆心可得a值，进而由离心率可得c值，根据平方关系可得b值；（2）由点G在线段AB上，且|AG|=|BH|及对称性知点H不在线段AB上，所以要使|AG|=|BH|，只要|AB|=|GH|，设 ， ，联立直线方程与椭圆方程消掉y得x的二次方程，利用韦达定理及弦长公式可得|AB|，在圆中利用弦心距及勾股定理可得|GH|，根据|AB|=|GH|得r，k的方程，分离出r后按k是否为0进行讨论，借助基本函数的范围即可求得r范围；

试题解析：（1）设椭圆的焦距为2c,因为

所以椭圆的方程为;

（2）设，

联立方程得

所以

则

又点到直线的距离， 则

显然，若点也在线段上，则由对称性可知，直线就是y轴,与已知矛盾，所以要使,只要，所以

当时，.

当时，3，

又显然，所以,

综上，圆的半径的取值范围是.

考点：椭圆标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系