Question

设函数（,b为实数），.

（1）若=0且对任意实数x均有成立，求表达式；

（2）在（1）的条件下，当时，是单调函数，求实数k的取值范围；

（3）设m>0，n<0且m+n>0, >0且为偶函数，求证：

Answer 1

（1）∵ ，   ∴.     ……（2分）

由恒成立，知， ∴ a=1.   ……（4分）

从而.

∴ .    ……（5分）

（2）由（1）可知， ∴. ……（6分）

由于在上是单调函数，知或，  ……（8分）

解得或.         ……（9分）

（3）∵ 是偶函数，∴  ，得.    ……（10分）

而a>0，∴在上为增函数.      ……（11分）

依据，知：

当x>0时，－x<0，；

当x<0时，－x>0，.

∴ 是奇函数且在上为增函数.           ……（13分）

由m>0，n<0，m+n>0，知，则，

∴ ，即.     ……（14分）