Question

1．已知a＞0，b＞0，且a+b=1，则（$\frac{1}{a}$+2）（$\frac{1}{b}$+2）的最小值为16．

Answer 1

分析 利用a+b=1，带入（$\frac{1}{a}$+2）（$\frac{1}{b}$+2）消去1后分离，展开，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：a＞0，b＞0，
∵a+b=1
∴（$\frac{1}{a}$+2）（$\frac{1}{b}$+2）=（$\frac{a+b}{a}$+2）（$\frac{a+b}{b}$+2）=（3+$\frac{b}{a}$）（3+$\frac{a}{b}$）
=10+$\frac{3a}{b}+\frac{3b}{a}$$≥10+2\sqrt{\frac{3a}{b}×\frac{3b}{a}}=16$
当且仅当a=b=$\frac{1}{2}$时取等号．
∴（$\frac{1}{a}$+2）（$\frac{1}{b}$+2）的最小值为16．
故答案为16．

点评 本题考查了“1”的利用以及基本不等式的性质，属于中档题．