Question

【题目】已知函数

（1）当时，求函数在处的切线方程；

（2）当时，判断函数的单调性；

（3）当且时，不等式在上恒成立，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）的单调递增区间是，，单调递减区间是；（3）3.

【解析】

（1）求出及后可得切线方程．

（2），故，讨论上的符号可得函数的单调区间．

（3）在上恒成立等价于在上恒成立，令，利用导数可得函数的极小值点 且，利用可化简，从而可得整数的最大值．

（1）当时，函数的导函数,则切线的斜率，

而，所以直线的切线方程为,即．

（2）依题意可得．

所以.故，

列表讨论如下：

	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是．

(3)当时，．

∵，∴原不等式可化为，即对任意恒成立．

令，则，

令，则，

∴在上单调递增．

∵，，

∴ 存在使即，

当时，，即；

当时，，即．

∴在上单调递减，在上单调递增．

由，得，

，

∴，∵，∴.