Question

已知sinα，cosα是关于x的方程x2-

5

ax+2a=0的两根，求sin⁶α+cos⁶α的值．

Answer 1

分析：由sinα，cosα为已知方程的两根，得到根的判别式大于等于0，求出a的范围，利用韦达定理表示出sinα+cosα与sinαcosα，利用同角三角函数间的基本关系列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，将所求式子利用立方和公式分解因式后，利用同角三角函数间的基本关系及完全平方公式变形后，把求出a的值代入计算，即可求出值．

解答：解：∵sinα，cosα是关于x的方程x²-

5

ax+2a=0的两根，
∴sinα+cosα=

5

a，sinαcosα=2a，△=b²-4ac=5a²-8a≥0，即a≤0或a≥

8

5

，
∴（sinα+cosα）²=1+2sinαcosα=1+4a=5a²，即（5a+1）（a-1）=0，
解得：a=-

1

5

或a=1（不合题意，舍去），
则sin⁶α+cos⁶α=（sin²α+cos²α）（sin⁴α-sin²αcos²α+cos⁴α）
=sin⁴α-sin²αcos²α+cos⁴α=（sin²α+cos²α）²-3sin²αcos²α=1-3sin²αcos²α=1-12a²=

13

25

．

点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，完全平方公式，立方和公式的运用，以及韦达定理，熟练掌握基本关系是解本题的关键．