Question

如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC=

π

4

，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点，N为BC的中点．
（1）求四棱锥O-ABCD的体积；
（2）证明：直线MN∥平面OCD．

Answer 1

分析：（1）由OA⊥底面ABCD，得OA为四棱锥O-ABCD的高，再求出底面菱形的面积，代入体积公式计算；
（2）取OB中点E，连接ME，NE，证明平面MNE∥平面OCD，再由面面平行得线面平行．

解答：解：（1）∵OA⊥底面ABCD，
∴OA为四棱锥O-ABCD的高，OA=2，
又底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC=

π

4

，
∴S_ABCD=1×1×

2

2

=

2

2

，
∴V_O-ABCD=

1

3

×

2

2

×2=

2

3

；
（2）取OB中点E，连接ME，NE，
∵ME∥AB，AB∥CD，
∴ME∥CD
又∵NE∥OC，ME∩NE=E，
∴平面MNE∥平面OCD，MN?平面MNE，
∴MN∥平面OCD

点评：本题考查了四棱锥的体积计算，考查了由面面平行证明线面平行，考查了学生的推理论证能力与运算能力．