Question

已知△ABC中角A，B，C的对边分别是a，b，c，设向量

m

=(a，cosB)，

n

=(b，cosA)，且

m

∥

n

，

m

≠

n

（Ⅰ）求∠C的值；
（Ⅱ）若实数x满足（sinAcosA）x=1+sin²A，求x的取值范围．

Answer 1

分析：（I）根据

m

∥

n

利用向量平行的条件列式，结合正弦定理化简得到sin2A=sin2B，由题意得A≠B，所以A+B=

π

2

，利用三角形内角和定理可得∠C的值；
（II）根据诱导公式算出cosA=sinB，代入已知等式加以整理得x=

2sin2A+sin2B

sinAsinB

，再利用正弦定理化简得x=

2a2+b2

ab

=

b

a

+

2a

b

，最后运用基本不等式求最值，结合a≠b即可算出x的取值范围．

解答：解：（I）∵向量

m

=(a，cosB)，

n

=(b，cosA)，且

m

∥

n

，
∴acosA=bcosB，
根据正弦定理得：sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，
又∵

m

≠

n

，得A≠B，∴A+B=

π

2

，可得C=

π

2

；
（II）Rt△ABC中，A+B=

π

2

，可得cosA=cos（

π

2

-B）=sinB，
∵（sinAcosA）x=1+sin²A，
∴x=

1+sin2A

sinAcosA

=

2sin2A+cos2A

sinAcosA

=

2sin2A+sin2B

sinAsinB

，
根据正弦定理，得

2sin2A+sin2B

sinAsinB

=

2a2+b2

ab

，
又∵

2a2+b2

ab

=

b

a

+

2a

b

≥2

2

，当且仅当

b

a

=

2a

b

时，等号成立．
∴x的最小值为2

2

，根据a≠b可得x≠3，因此x的取值范围是[2

2

，3)∪(3，+∞)．

点评：本题给出向量含有三角形的边与角的余弦形式的坐标，在向量平行的条件求角C的大小，并依此求x的取值范围．着重考查了正弦定理、三角恒等变换、向量的坐标运算与基本不等式等知识，属于中档题．