Question

设函数f（x）=，
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若k＞0，求不等式f′（x）+k（1-x）f（x）＞0的解集．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=
∴
由f'（x）=0，得x=1，
因为当x＜0时，f'（x）＜0；
当0＜x＜1时，f'（x）＜0；当x＞1时，f'（x）＞0；
所以f（x）的单调增区间是：[1，+∝）；单调减区间是：（-∞，0），（0，1]
（2）由f'（x）+k（1-x）f（x）==＞0，
得：（x-1）（kx-1）＜0，
故：当0＜k＜1时，解集是：{x|1＜x＜}；
当k=1时，解集是：φ；
当k＞1时，解集是：{x|＜x＜1}．
分析：（1）对函数f（x）进行求导，当导数大于0时是单调递增区间，当导数小于0时是原函数的单调递减区间．
（2）将f'（x）代入不等式即可求解．
点评：本题主要考查通过求函数的导数来确定函数的增减性的问题．当导数大于0时原函数单调递增，当导数小于0时原函数单调递减．