Question

设函数f（x）=•，其中=（cosx，sin2x），=（2cosx，1）．
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，f（A）=2，a=，b+c=3，求△ABC的面积．

Answer 1

【答案】分析：（1）由和的坐标，利用平面向量的数量积运算法则表示出•，利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的单调递增区间为[2kπ-，2kπ+]列出关于x的不等式，求出不等式的解集可得函数f（x）的递增区间；
（2）由f（A）=2，把x=A代入化简后的函数f（x）的解析式中求出的函数值等于2，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，由a和cosA的值，利用余弦定理列出关于b和c的关系式，与已知b+c的值联立可得bc的值，再由bc及sinA的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．
解答：解：（1）∵=（cosx，sin2x），=（2cosx，1），
∴f（x）=•=2cos²x+sin2x，（2分）
=cos2x+sin2x+1
=2sin（2x+）+1，…（4分）
当2kπ-＜2x+＜2kπ+（k∈Z），
即kπ-＜x＜kπ+（k∈Z）时，f（x）单调递增，…（5分）
则f（x）的单调增区间是（kπ-，kπ+）（k∈Z）；…（6分）
（包含或不包含区间端点均可，但要前后一致）．
（2）∵f（A）=2sin（2A+）+1=2，0＜A＜π，…（7分）
∴2A+=，即A=，…（9分），又a=，
由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA得：3=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc，…（10分）
把b+c=3代入得：bc=2，…（12分）
所以△ABC的面积为S_△ABC=bcsinA=×2×=．…（13分）
点评：此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的单调性，以及三角形的面积公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．