Question

已知点P在抛物线y²=4x上，那么点P到点Q（2，-1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和的最小值为

5

4

．

Answer 1

分析：根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，再由抛物线的定义知：当P、Q和P在准线上的射影点A三点共线时，这个距离之和最小，由此求出此时点P的坐标，进而可得P到抛物线焦点距离之和的最小值．

解答：解：∵抛物线方程为y²=4x
∴2p=4，可得焦点为F（1，0），准线为x=-1
设P在抛物线准线l上的射影点为A点
则由抛物线的定义，可知当P、Q、A点三点共线时，
点P到抛物线焦点距离之和最小，如图所示
∴点P的纵坐标为-1，代入抛物线方程，
可得（-1）²=4x，得x=

1

4

，所以此时P的坐标为（

1

4

，-1）
由此，可得这个距离之和为

1

4

+1=

5

4

故答案为：

5

4

点评：本题给出抛物线上的动点，求该点到定点Q和焦点F距离之和的最小值，着重考查了抛物线的定义和简单几何性质等知识，属于中档题．