题目内容

已知抛物线方程为y2=2x，在y轴上截距为2的直线l与抛物线交于M、N两点，O为坐标原点，若OM⊥ON，求直线l的方程．
设直线l的方程为y=kx+2（1分）
由
y2=2x
y=kx+2
消去x得：ky2-2y+4=0（3分）
∵直线l与抛物线相交
∴
k≠0
△=4-16k＞0
?k＜
1
4
 且 k≠0（5分）
设M（x1，y1）、N（x2，y2），则y1y2=
4
k
（6分）
从而x1x2=
y21
2
 • 
y22
2
=
4
k2
（8分）
∵OM⊥ON∴x1x2+y1y2=0（10分）
即 解得k=-1符合题意
∴直线l的方程为y=-x+2（12分）
练习册系列答案
相关题目
已知抛物线方程为y2=2px（p＞0）．
（1）若点(2，2
2
)在抛物线上，求抛物线的焦点F的坐标和准线l的方程；
（2）在（1）的条件下，若过焦点F且倾斜角为60°的直线m交抛物线于A、B两点，点M在抛物线的准线l上，直线MA、MF、MB的斜率分别记为kMA、kMF、kMB，求证：kMA、kMF、kMB成等差数列；
（3）对（2）中的结论加以推广，使得（2）中的结论成为推广后命题的特例，请写出推广命题，并给予证明．
说明：第（3）题将根据结论的一般性程度给予不同的评分．
已知抛物线方程为y2=4x，过Q（2，0）作直线l．
①若l与x轴不垂直，交抛物线于A、B两点，是否存在x轴上一定点E（m，0），使得∠AEQ=∠BEQ？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由？
②若L与X轴垂直，抛物线的任一切线与y轴和L分别交于M、N两点，则自点M到以QN为直径的圆的切线长|MT|为定值，试证之．
如图，已知抛物线方程为y2=8x．直线l1过抛物线的焦点F，且倾斜角为45°，直线l1与抛物线相交于C、D两点，O为原点．
（1）写出直线l1方程
（2）求CD的长度．
已知抛物线方程为y2=2px（p＞0）．
（Ⅰ）若点（2，2
2
）在抛物线上，求抛物线的焦点F的坐标和准线l的方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若过焦点F且倾斜角为60°的直线m交抛物线于A、B两点，点M在抛物线的准线l上，直线MA、MF、MB的斜率分别记为kMA、kMF、kMB，求证：kMA、kMF、kMB成等差数列．
已知抛物线方程为y2=4x，过点P（-2，0）的直线AB交抛物线于点A、B，若线段AB的垂直平分线交x轴于点Q（n，0），求n的取值范围．

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