Question

已知抛物线方程为y²=4x，过点P（-2，0）的直线AB交抛物线于点A、B，若线段AB的垂直平分线交x轴于点Q（n，0），求n的取值范围．

Answer 1

分析：先求线段AB的垂直平分线的方程，进而可得n关于斜率的函数，利用配方法可求n的取值范围

解答：解：设直线AB的方程为y=k（x+2）（k≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
把y=kx-2代入抛物线方程可得：k²x²+（4k²-4）x+4k²=0
∴x1+x2=-

4k2-4

k2

，x₁x₂=4
∴y1+y2=

4

k

，y₁y₂=8
∴线段AB的中点C的坐标为C(-

2k2-2

k2

，

2

k

)
∴直线CQ的方程为y-

2

k

=-

1

k

(x+

2k2-2

k2

)
令y=0，则n=x=2-

2k2-2

k2

=

2

k2

∵过点P（-2，0）的直线AB交抛物线于点A、B
∴k2＜

1

2

，k≠0
∴n＞4
∴n的取值范围为（4，+∞）

点评：本题以抛物线为载体，考查直线与抛物线相交，考查函数模型的构建，考查函数的值域，综合性强．