Question

已知抛物线方程为y²=2px（p＞0）．
（Ⅰ）若点（2，2

2

）在抛物线上，求抛物线的焦点F的坐标和准线l的方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若过焦点F且倾斜角为60°的直线m交抛物线于A、B两点，点M在抛物线的准线l上，直线MA、MF、MB的斜率分别记为k_MA、k_MF、k_MB，求证：k_MA、k_MF、k_MB成等差数列．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据（2，2

2

）在抛物线y²=2px（p＞0）上，可得p=2，从而可求抛物线的焦点坐标与准线l的方程；
（Ⅱ）过焦点F（1，0）且倾斜角为60°的直线m的方程为y=

3

（x-1）与抛物线方程联立，可得点A、B的坐标，设点M的坐标为M（-1，t），即可证得k_MA、k_MF、k_MB成等差数列．

解答：（Ⅰ）解：∵（2，2

2

）在抛物线y²=2px（p＞0）上，
∴由（2

2

）²=2p×2得p=2
∴抛物线的焦点坐标为F（1，0），准线l的方程为x=-1
（Ⅱ）证明：过焦点F（1，0）且倾斜角为60°的直线m的方程为y=

3

（x-1），与抛物线方程联立，消元可得3x²-10x+3=0，
∴x₁=3，x₂=

1

3

，
∴点A、B的坐标为A（3，2

3

），B（

1

3

，-

2 3

3

）
∵抛物线的准线方程为x=-1，设点M的坐标为M（-1，t），
则k_MA=

2 3 -t

4

，k_MB=-

2 3 +3t

4

，k_MF=-

t

2

∴k_MA+k_MB=

2 3 -t

4

-

2 3 +3t

4

=-t=2k_MF，
∴k_MA、k_MF、k_MB成等差数列．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．