Question

【题目】设0＜a≤ ，若满足不等式|x﹣a|＜b的一切实数x，亦满足不等式|x﹣a2|＜ ，求实数b的取值范围．

Answer 1

【答案】解：解：由题意可得b＞0是不用求的，否则|x﹣a|＜b都没解了．
故有﹣b＜x﹣a＜b，即a﹣b＜x＜a+b．
由不等式|x﹣a2|＜ 得，﹣ ＜x﹣a2＜ ，即 a2﹣ ＜x＜a2+ ．
第二个不等式的范围要大于第一个不等式，这样只要满足了第一个不等式，
肯定满足第二个不等式，命题成立．
故有 a2﹣ ≤a﹣b，且 a+b≤a2+ ，0＜a≤ ．
化简可得 b≤﹣a2+a+ ，且b≤a2﹣a+ ．
由于﹣a2+a+ =﹣（a﹣ ）2+ ∈[ ， ]，故 b≤ ．
由于 a2﹣a+ =（a﹣ ）2+ ∈[ ， ]．故 b≤ ．
综上可得 0＜b≤
【解析】由题意可得b＞0，求出这两个不等式的解集，由题意可得 a2﹣ ≤a﹣b，且 a+b≤a2+ ，0＜a≤ ．由此可得b小于或等于﹣a2+a+ 的最小值，且b小于或等于 a2﹣a+ 的最小值，由此求得实数b的取值范围．