题目内容

已知函数 $数学公式$ ， $数学公式$ ．
（1）求集合B；
（2）若 $数学公式$ ；
（3）比较 $数学公式$ 的大小，并说明理由．

解：（1）∵函数 $\text{[math]}$ ，
∴f′（x）=x²+4ax+a，
∵x₁，x₂∈A，∴f′（x）=0有两个实根，
∴x₁+x₂=-4a，x₁x₂=a，△=16a²-4a＞0，
∴a $\text{[math]}$ ，或a＜0，
∵（1+x₁）（1+x₂）=1+（x₁+x₂）+x₁x₂=1-4a+a=1-3a，
（1-4a-x₁）（1-4a-x₂）=1-8a+16a²+（4a-1）（x₁+x₂）+x₁x₂
=1-3a．
∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，
解得0＜a＜ $\text{[math]}$ ，或a≥2．
综上所述，B={a| $\text{[math]}$ ，或a≥2}．
（2）∵x∈Z，且x∈B，∴x≥2，∴ $\text{[math]}$ ∈（0， $\text{[math]}$ ]，
令t= $\text{[math]}$ ∈（0， $\text{[math]}$ ），令R（t）=tant-t，
则 $\text{[math]}$ =tan²t＞0，
∴R（t）在（0， $\text{[math]}$ ）上单调递增，
∴R（t）＞R（0）=0，∴tant-a＞0，
∴tan $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ ．
（3）由（2）得x≥2时，tan $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ ，
∴tan $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，∴2012•sin′（ $\text{[math]}$ ）＞ $\text{[math]}$ ，
∴2012• $\text{[math]}$ ＞1- $\text{[math]}$ ，
∴2013 $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ ，
∴sin $\text{[math]}$ ＞sin $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由函数 $\text{[math]}$ ，f′（x）=x²+4ax+a，x₁，x₂∈A，知f′（x）=0有两个实根，故x₁+x₂=-4a，x₁x₂=a，△=16a²-4a＞0，再由 $\text{[math]}$ ，能求出B．
（2）令t= $\text{[math]}$ ∈（0， $\text{[math]}$ ），令R（t）=tant-t，则 $\text{[math]}$ =tan²t＞0，由此能够证明tan $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ ．
（3）由（2）得x≥2时，tan $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，故tan $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，由此能够得到sin $\text{[math]}$ ＞sin $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查集合的包含关系判断及应用，综合性强，难度大．解题时要认真审题，仔细解答，注意构造法的合理运用．