题目内容

已知函数f(x)=
10x10x+1
，求f-1（x）并判断f-1（x）的单调性．
分析：由y=
10x
10x+1
解得10x=
y
1-y
，再转化为对数形式，然后由10x＞0，求得反函数的定义域．用定义法判断其单调性，先在定义域上任取两个变量，且界定大小，再作差变形与零比较，得到f-1（x1）与f-1（x2）关系，可得结论．
解答：解：由y=
10x
10x+1
解得10x=
y
1-y
，
∵10x＞0，
∴0＜y＜1；
于是：f-1(x)=lg
x
1-x
，x∈（0，1）．
当0＜x1＜x2＜1时，
x1
1-x1
-
x2
1-x2
=
x1-x2
(1-x1)(1-x2)

∵1-x1＞0，1-x2＞0，x1-x2＜0，
∴
x1
1-x1
＜
x2
1-x2
，
于是：lg
x1
1-x1
＜lg
x2
1-x2
，
即：f-1（x1）＜f-1（x2）．
∴f-1（x）在（0，1）上是增函数．
点评：本题主要考查函数的反函数的求法及其单调性的判断，在求反函数时，要抓住x与y互换和原函数与反函数定义域与值域互换这两点．
练习册系列答案
相关题目
（1）、已知函数f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
．若角α在第一象限且cosα=
3
5
，求f(α)．
（2）函数f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx的图象按向量
m
=(
π
6
，-1)平移后，得到一个函数g（x）的图象，求g（x）的解析式．
已知函数f(x)=(1-
a
x
)ex，若同时满足条件：
①?x0∈（0，+∞），x0为f（x）的一个极大值点；
②?x∈（8，+∞），f（x）＞0．
则实数a的取值范围是（　　）
已知函数f(x)=
1+lnx
x
．
（1）如果a＞0，函数在区间(a，a+
1
2
)上存在极值，求实数a的取值范围；
（2）当x≥1时，不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立，求实数k的取值范围．
已知函数f(x)=
1+
1
x
，(x＞1)
x2+1，(-1≤x≤1)
2x+3，(x＜-1)
．
（1）求f(
1
2
-1
)与f（f（1））的值；
（2）若f(a)=
3
2
，求a的值．
定义在D上的函数f（x）如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．已知函数f(x)=
1-m•2x1+m•2x
．
（1）m=1时，求函数f（x）在（-∞，0）上的值域，并判断f（x）在（-∞，0）上是否为有界函数，请说明理由；
（2）若函数f（x）在[0，1]上是以3为上界的有界函数，求m的取值范围．

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