Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（2a-c）cosB=bcosC．
（1）求角B的大小；
（2）已知函数y=cos²

A

2

+sin²

C

2

-1，求y的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意可得（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，cosB=

1

2

，根据0＜B＜π，可得 B=

π

3

．
（2）化简函数y=

3

2

cos（

π

6

+A），根据 0＜A＜

2π

3

，可得

π

6

＜（

π

6

+A）＜

5π

6

，从而求得cos（

π

6

+A） 的范围，
即可求得y的范围．

解答：解：（1）由（2a-c）cosB=bcosC，得（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，∴2sinAcosB=sin（B+C）=sinA．
∵0＜A＜π，∴sinA≠0，∴cosB=

1

2

，∵0＜B＜π，∴B=

π

3

．
（2）∵B=

π

3

，∴A+C=

2π

3

，∴函数y=cos²

A

2

+sin²

C

2

-1=

1cosA

2

+ 

1-cosC

2

-1 
=

1

2

[cosA-cos（

2π

3

-A）]=

1

2

 （

3

2

cosA-

3

2

sinA）=

3

2

cos（

π

6

+A）．
∵0＜A＜

2π

3

，∴

π

6

＜（

π

6

+A）＜

5π

6

，-

1

2

＜cos（

π

6

+A）＜

3

2

，
∴-

3

4

＜y＜

3

4

．

点评：本题考查正弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，余弦汗水due值域，化简函数y=

3

2

cos（

π

6

+A），是解题的
关键．