题目内容
6．求证：函数y=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$是奇函数且在定义域上是增函数．分析 根据奇偶性的定义与单调性的定义，即可证明函数y=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$是定义域R上的奇函数，且为单调增函数．
解答 证明：函数y=f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$的定义域为R，
任取x∈R，都有f（-x）=$\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}$=$\frac{1{-2}^{x}}{1{+2}^{x}}$=-$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=-f（x），
∴f（x）是定义域R上的奇函数；
又任取x1、x2∈R，且x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=$\frac{{2}^{{x}_{1}}-1}{{2}^{{x}_{1}}+1}$-$\frac{{2}^{{x}_{2}}-1}{{2}^{{x}_{2}}+1}$=$\frac{2{（2}^{{x}_{1}}{-2}^{{x}_{2}}）}{{（2}^{{x}_{1}}+1）{（2}^{{x}_{2}}+1）}$，
∵x1＜x2，∴${2}^{{x}_{1}}$＜${2}^{{x}_{2}}$，∴2（${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$）＜0，且${2}^{{x}_{1}}$+1＞0，${2}^{{x}_{2}}$+1＞0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在定义域R上是单调增函数．
点评 本题考查了函数的奇偶性与单调性的定义与应用问题，是基础题目．
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