Question

一个棱长为a的正四面体ABCD密封容器，可充满72升溶液，后发现分别在棱AB，AC，AD上各被蚀有一小孔E，F，G，AE=

a

6

，AF=

a

3

，AG=

a

2

，则现在这容器最多可盛

70

升溶液．

Answer 1

分析：利用三角形的面积公式和锥体的体积公式，结合正四面体的性质加以计算，得出三棱锥G-AEF的体积等于正四面体ABCD体积的

1

36

．根据题意可得当E、F、G三点在同一个水平面上时，容器可盛最多的溶液．由此即可得出这容器最多可盛的溶液体积．

解答：解：根据题意，可得当E、F、G三点在同一个水平面上时，容器可盛最多的溶液．
∵△AEF中，AE=

a

6

，AF=

a

3

，∠EAF=60°，
∴S_△AEF=

1

2

AE•AFsin60°=

1

2

×

a

6

×

a

3

×

3

2

=

3 a2

72

∵正四面体ABCD的棱长为a，G为AD的中点，
∴G到平面AEF的距离等于D到平面ABC距离的

1

2

，
设G到平面AEF的距离为d，则d=

1

2

×

6

3

a=

6 a

6

可得V_G-AEF=

1

3

S_△AEF×d=

1

2

×

3 a2

72

×

6 a

6

=

2

432

a3
∵正四面体ABCD的体积V=

1

3

×

3

4

a2×

6

3

a=

2

12

a3
∴由正四面体ABCD密封容器可充满72升溶液，得
V_G-AEF=

2

432

a3=

1

36

×

2

12

a3=

1

36

×72=2升
因此，容器最多可盛72-2=70升的溶液．
故答案为：70

点评：本题给出实际应用问题，求容器最多可盛的溶液体积．着重考查了三角形的面积公式、锥体的体积公式和结合正四面体的性质等知识，属于中档题．