Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知圆的方程为，点的坐标为.

（1）求过点且与圆相切的直线方程；

（2）过点任作一条直线与圆交于不同两点，，且圆交轴正半轴于点，求证：直线与的斜率之和为定值.

Answer 1

【答案】（1）或（2）详见解析

【解析】

（1）当直线的斜率不存在时，直线满足题意，当直线的斜率存在时，设切线方程为，圆心到直线的距离等于半径，列式子求解即可求出，即可得到切线方程；（2）设直线：，代入圆的方程，可得到关于的一元二次方程，设，，且，直线与的斜率之和为，代入根与系数关系整理可得到所求定值。

（1）当直线的斜率不存在时，显然直线与圆相切

当直线的斜率存在时，设切线方程为，

圆心到直线的距离等于半径，即，解得，切线方程为：，

综上，过点且与圆相切的直线的方程是或

（2）圆：与轴正半轴的交点为，依题意可得直线的斜率存在且不为0，设直线：，代入圆：，

整理得：.

设，，且

∴，

∴直线与的斜率之和为

为定值.