Question

19．已知锐角△ABC中，角A、B、C对应的边分别为a、b、c，tanA=$\frac{\sqrt{3}bc}{b^2+c^2-a^2}$．
（1）求A的大小；
（2）设函数f（x）=sin（ωx-$\frac{π}{6}$）-cosωx，（ω＞0），且f（x）图象上相领两最高点间的距离为π，求f（B）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理可求得sinA的值，即可求得A的值；
（2）化简函数，利用周期确定ω，进而可得函数的解析式，即可求f（B）的取值范围．

解答 解：（1）∵tanA=$\frac{\sqrt{3}bc}{b^2+c^2-a^2}$，
∴tanA=$\frac{\sqrt{3}}{2cosA}$，
∴sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵0$＜A＜\frac{π}{2}$，
∴$A=\frac{π}{3}$；
（2）f（x）=sin（ωx-$\frac{π}{6}$）-cosωx=$\sqrt{3}$sin（ωx-$\frac{π}{3}$）
∵f（x）图象上相邻两最高点间的距离为π，
∴T=π
∴$\frac{2π}{ω}$=π
∴ω=2
∴f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）
∴f（B）=$\sqrt{3}$sin（2B-$\frac{π}{3}$）
∵$\frac{π}{6}$＜B＜$\frac{π}{2}$，∴0＜2B-$\frac{π}{3}$＜$\frac{2π}{3}$
∴0＜sin（2B-$\frac{π}{3}$）≤1
∴0＜f（B）≤$\sqrt{3}$．

点评 本题考查余弦定理，考查三角函数的图象与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．