题目内容

（2013•松江区二模）如图所示，向量
BC
的模是向量
AB
的模的t倍，
AB
与
BC
的夹角为θ，那么我们称向量
AB
经过一次（t，θ）变换得到向量
BC
．在直角坐标平面内，设起始向量
OA1
=(4，0)，向量
OA1
经过n-1次(
1
2
，
2π
3
)变换得到的向量为
An-1An
(n∈N*，n＞1)，其中Ai，Ai+1，Ai+2(i∈N*)为逆时针排列，记Ai坐标为（ai，bi）（i∈N*），则下列命题中不正确的是（　　）
分析：利用(
1
2
，
2π
3
)变换的定义，推导知
OA
=
OA1
+
A1A2
+…+
An-1An
的向量坐标，然后求出an，bn的表达式，然后进行计算即可．
解答：解：向量
OA1
=(4，0)，经过1次变换后得到
OA2
=(2cos?
2π
3
，2sin?
2π
3
)=(-1，
3
)，则A2(-1，
3
)，
所以a2=-1，b2=
3
，即A正确．
则由题意知
OA
=
OA1
+
A1A2
+…+
An-1An
=(4，0)+(2cos?
2π
3
，2sin?
2π
3
)+(cos?
4π
3
，sin?
4π
3
)+…+((
1
2
)n-3cos?
2(n-1)π
3
，(
1
2
)n-3sin?
2(n-1)π
3
)，
所以an=4+2cos?
2π
3
+cos?
4π
3
+…+(
1
2
)n-3cos?
2(n-1)π
3
，bn=4+2sin?
2π
3
+sin?
4π
3
+…+(
1
2
)n-3sin?
2(n-1)π
3
．
所以b3k+1-b3k=(
1
2
)3k+1-3sin?
2(3k+1-1)π
3
=(
1
2
)3k+1-3sin?
2×3kπ
3
=(
1
2
)3k+1-3sin?2kπ=0，
所以B正确．
a3k+1-a3k-1=(
1
2
)3k+1-3cos?
2(3k+1-1)π
3
-(
1
2
)3k-3cos?
2(3k-1)π
3
=(
1
2
)3k-2cos?2kπ-(
1
2
)3k-3cos?(2kπ-
π
3
)
=(
1
2
)3k-2-(
1
2
)3k-3×
1
2
=(
1
2
)3k-2-(
1
2
)3k-2=0，
所以C正确．
故错误的是D．
故选D．
点评：本题是新定义题目，首先读懂新定义的实质，转化成我们已有的知识并解决．本题实质考查向量的坐标运算，几何运算，难度较大．
练习册系列答案
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（2013•松江区二模）若正整数n使得行列式
.
   1        n  
 2-n     3n 
.
=6，则
P
n
7
=
42
42
．
（2013•松江区二模）已知函数f(x)=x
13
，x∈(1，27)的值域为A，集合B={x|x2-2x＜0，x∈R}，则A∩B=
（1，2）
（1，2）
．
（2013•松江区二模）已知α∈(-
π
2
，0)，且cosα=
4
5
，则sin2α=
-
24
25
-
24
25
．
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12π
12π
（结果保留π）．
（2013•松江区二模）已知x=-3-2i（i为虚数单位）是一元二次方程x2+ax+b=0（a，b均为实数）的一个根，则a+b=
19
19
．

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