Question

【题目】已知函数（）.

（Ⅰ）若曲线在点处的切线与轴垂直，求的值；

（Ⅱ）若函数有两个极值点，求的取值范围；

（Ⅲ）证明：当时， .

Answer 1

【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）.（Ⅲ）见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）求导函数，利用函数在点处的切线与轴垂直，可得切线的斜率，从而可求 的值；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，若函数有两个极值点，则，即有两个不同的根，且的值在根的左、右两侧符号相反.

令，讨论其性质即可得到的取值范围；

（Ⅲ）令（），则， .

令，讨论的性质可得以时， ，即时， .

试题解析:（（Ⅰ）由得.

因为曲线在点处的切线与轴垂直，

所以，解得.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，若函数有两个极值点，则，即有两个不同的根，且的值在根的左、右两侧符号相反.

令，则，

所以当时， ， 单调递减；当时， ， 单调递增.

又当时， ； 时， ； 时， ； 时， ，

所以.即所求实数的取值范围是.

（Ⅲ）证明：令（），则， .

令，则 ，

因为，所以， ， ， ，

所以，即在时单调递增，

又，所以时， ，即函数在时单调递增.

所以时， ，即时， .