Question

如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左右焦点F₁、F₂为顶点的三角形的周长为．一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF₁和PF₂与椭圆的焦点分别为A、B和C、D．

(Ⅰ)求椭圆和双曲线的标准方程

(Ⅱ)设直线PF₁、PF₂的斜率分别为k₁、k₂，证明：k₁·k₂＝1

(Ⅲ)是否存在常数λ，使得|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|恒成立？

若存在，求λ的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解析：(Ⅰ)由题意知，椭圆离心率为，得，又，所以可解得，，所以， 所以椭圆的标准方程为　　1 　　所以椭圆的焦点坐标为(，0)，因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为　　4 　　(Ⅱ)设点P(，)，则＝，＝，所以＝ 　　6 　　又点P(，)在双曲线上，所以有，即，所以 　　＝1　　8 　　(Ⅲ)假设存在常数，使得恒成立，则由(Ⅱ)知，所以设直线AB的方程为，则直线CD的方程为， 　　由方程组消y得：，设，， 　　则由韦达定理得：　　9 　　所以|AB|＝＝，同理可得　　10 　　|CD|＝＝＝　　11 　　又因为，所以有＝＋ 　　＝，所以存在常数，使得恒成立　　12