Question

定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f(x)=

log2(x+1)(0≤x＜1) |x-3|-1(x≥1)

，则函数g(x)=f(x)-

1

2

的所有零点之和为

2

-1

．

Answer 1

分析：根据函数的奇偶性求出函数f（x）的表达式，根据函数表达式作出函数的图象，由图象可知函数的对称性，利用数形结合求出函数g（x）的所有零点即可．

解答：解：∵函数f（x）是奇函数，
∴当x＜0时，f（x）=

-log2(1-x)，-1＜x＜0 1-|x+3|，x≤-1

，
作出函数f（x）在R图象如图：
由g(x)=f(x)-

1

2

=0，
即f（x）=

1

2

，
由图象可知函数f（x）=

1

2

有5个根，不妨设为x=a，b，c，d，e．且a＜b＜c＜d＜e，
则a，b关于x=-3对称，d，e关于x=3对称，0＜c＜1，
则

a+b

2

=-3，

d+e

2

=3，
∴a+b=-6，d+e=6，
∵0＜c＜1，
∴由f（c）=

1

2

，得log 2(c+1)=

1

2

，
即c+1=2 

1

2

=

2

，
∴c=

2

-1，
∴零点之和为a+b+c+d+e=-6+6+

2

-1=

2

-1．
故答案为：

2

-1．

点评：点评：本题考查函数的图象，函数零点知识，考查函数与方程，数形结合的思想，准确画好图，把握图象的对称性是关键．