题目内容

已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为e=
2
2
，左、右焦点分别为F1、F2，点P的坐标为（2，
3
），且F2在线段PF1的中垂线上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）如果圆E：（x-
1
2
）2+y2=r2被椭圆C所覆盖，求圆的半径r的最大值．
分析：（1）由椭圆C的离心率e=
2
2
和点F2在线段PF1的中垂线上知|F1F2|=|PF2|，由此推出(2c)2=(
3
)2+(2-c)2，从而可求出椭圆C的方程．
（2）设P（x0，y0）是椭圆C上任意一点，则
x
2
0
2
+
y
2
0
=1，|PE|=
(
x
 
0
-
1
2
)2+
y
2
0
，由此可求出圆的半径r的最大值．
解答：解：（1）椭圆C的离心率e=
2
2
，得
c
a
=
2
2
，
其中c=
a2-b2
，椭圆C的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），又点F2在线段PF1的中垂线上，
∴|F1F2|=|PF2|，∴(2c)2=(
3
)2+(2-c)2，
解得c=1，a2=2，b2=1，
∴椭圆C的方程为
x2
2
+y2=1．
（2）设P（x0，y0）是椭圆C上任意一点，
则
x
2
0
2
+
y
2
0
=1，|PE|=
(
x
 
0
-
1
2
)2+
y
2
0
，∵
y
2
0
=1-
x
2
0
2
，
∴|PE|=
(
x
 
0
-
1
2
)2+1-
x
2
0
2
=
1
2
x
2
0
-
x
 
0
+
5
4
（-
2
≤
x
 
0
≤
2
）．
当x0=1时，|PE|min=
1
2
-1+
5
4
=
3
2
，
∴半径r的最大值为
3
2
．
点评：本题综合考查椭圆的性质和圆的知识，解题时要仔细审题，认真计算．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
1
2
，且经过点P(1，
3
2
)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设F是椭圆C的左焦，判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短轴长为2
3
，右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A、B是椭圆C上的不同两点，点D（-4，0），且满足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直线AB的斜率的取值范围．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）经过点A（1，
3
2
），且离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点B（-1，0）能否作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
（2012•房山区二模）已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的长轴长是4，离心率为
1
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设过点P（0，-2）的直线l交椭圆于M，N两点，且M，N不与椭圆的顶点重合，若以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A，求直线l的方程．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短轴长为2，离心率为
2
2
，设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，过A，B作直线x=2的垂线AP，BQ，垂足分别为P，Q．记λ=
AP+BQ
PQ
，若直线l的斜率k≥
3
，则λ的取值范围为
 
．

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