Question

若抛物线y²=2px（p＞0）上有一点M，其横坐标为8，它到焦点的距离为9，
（1）求焦点F的坐标
（2）并求直线MF的方程．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线的定义，结合题意建立关于p的等式解出p=2，即可得出焦点F的坐标；
（2）利用（1）中求出的抛物线方程，算出M的坐标为（8，±4

2

），进而得到直线MF的斜率，根据直线方程的点斜式方程列式，化简即可得到直线MF的方程．

解答：解：（1）抛物线y²=2px的焦点坐标为F（

p

2

，0），准线为x=-

p

2

．
∵点M横坐标为8，到焦点的距离为9，
∴根据抛物线的定义，可得MF=8+

p

2

=9，解得p=2．
因此，抛物线的焦点坐标为F（1，0）．
（2）由（1）得抛物线方程为y²=4x，
设M（8，y₀），得y₀²=4×8=32，得y₀=±4

2

∴M坐标为（8，±4

2

），直线MF的斜率k=

±4 2 -0

8-1

=±

4 2

7

．
直线MF的方程方程为y=±

4 2

7

（x-1），
化简得y=

4 2

7

x-

4 2

7

或y=-

4 2

7

x+

4 2

7

．

点评：本题给出抛物线满足的条件，求抛物线方程并依此求直线方程．着重考查了抛物线的定义与标准方程、直线的基本量与基本形式等知识，属于中档题．