Question

已知椭圆C的焦点为F₁（-1，0）、F₂（1，0），点P(-1，

2

2

)在椭圆上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若抛物线y²=2px（p＞0）与椭圆C相交于点M、N，当△OMN（O是坐标原点）的面积取得最大值时，求p的值．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆的定义及参数a，b，c的关系即可得出；
（2）利用椭圆和抛物线的对称性，可设出点P的坐标，进而表示出三角形的面积，利用基本不等式的性质及点在椭圆上即可得出．

解答：解：（1）依题意，设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，
∵2a=|PF₁|+|PF₂|=

0+( 2 2 )2

+

22+( 2 2 )2

=2

2

，∴a=

2

，c=1，∴b=

a2-c2

=1，
∴椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1．
（2）根据椭圆和抛物线的对称性，设M（x₀，y₀）、N（x₀，-y₀）（x₀，y₀＞0），
△OMN的面积S=

1

2

x0×(2y0)=x0y0，
∵M（x₀，y₀）在椭圆上，∴

x02

2

+y02=1，
∴1=

x02

2

+y02≥2

x02 2 •y02

=

2

x0y0，等号当且仅当

x0

2

=y0时成立，
解

x02 2 +y02=1 x0 2 =y0

（x₀，y₀＞0）得

x0=1 y0= 2 2

，M（x₀，y₀）即M(1，

2

2

)．
∵点M在抛物线y²=2px上，∴(

2

2

)2=2p×1，解得p=

1

4

．
∴p=

1

4

．

点评：熟练正确圆锥曲线的定义及其性质、基本不等式的性质是解题的关键．