Question

已知数列a_n的前n项和为S_n，a₁=1，na_n=S_n+2n（n-1）（n∈N^*）．
（I）求数列a_n的通项公式；
（II）设，求T_n的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由na_n=S_n+2n（n-1）结合通项和前n项和的关系，转化为a_n+1-a_n=4（n≥2）再由等差数列的定义求解，要注意分类讨论．
（II）由（I）求得 a_n代入整理得 是一个等差数列与等比数列对应项积的形式，用错位相减法求其前n项和．
解答：解：（I）因为S_n=na_n-2（n-1）n，
所以当n≥2时，S_n-1=（n-1）a_n-1-2（n-2）（n-1）．a_n=S_n-S_n-1=na_n-2（n-1）n-（n-1）a_n-1+2（n-2）（n-1），（2分）
即a_n-a_n-1=4（4分）
所以数列a_n是首项a₁=1，公差d=4的等差数列，且a_n=1+（n-1）4=4n-3（n∈N^*）．（6分）
（II）因为，
所以．①（8分）．②..（10分）
①-②得=．
所以（12分）
点评：本题主要考查数列的转化与通项公式和求和方法，这里涉及了通项与前n项和之间的关系及错位相减法，这是数列考查中常考常新的问题，要熟练掌握．