Question

已知数列a_n的前n项和为S_n，且a₁=1，S_n=n²a_n（n∈N），
（1）试计算S₁，S₂，S₃，S₄，并猜想S_n的表达式；
（2）证明你的猜想，并求出a_n的表达式．

Answer 1

分析：（1）先根据数列的前n项的和求得S₁，S₂，S₃，S₄，可知分母和分子分别是等差数列进而可猜想出S_n．
（2）利用a_n=S_n-S_n-1，整理出a_n的递推式，进而用叠乘法求得a_n．

解答：解：（1）由a₁=1，S_n=n²a_n（n∈N）得S1=1，S2=

4

3

，S3=

3

2

，S4=

8

5

猜想Sn=

2n

n+1

(n∈N)
（2）证明：∵S_n=n²a_n①∴S_n-1=（n-1）²a_n-1②
①-②得S_n-S_n-1=n²a_n-（n-1）²a_n-1
∴a_n=n²a_n-（n-1）²a_n-1
化简得

an

an-1

=

n-1

n+1

∴

a2

a1

=

1

3

，

a3

a2

=

2

4

，

a4

a3

=

3

5

，…，

an

an-1

=

n-1

n+1

把上面各式相乘得

an

a1

=

2

n(n+1)

∴an=

2

n(n+1)

点评：本题主要考查了数列的递推式．数列的递推式是高考中常考的题型，涉及数列的通项公式，求和问题，数列与不等式的综合等问题．