Question

空间四边形的四条边长度相等，则顺次连接这个四边形各边中点所得的图形是

1. A.
   矩形
2. B.
   菱形
3. C.
   正方形
4. D.
   等腰梯形

Answer 1

A
分析：作出空间四边形ABCD如图，设四边形EFGH是顺次连接各边中点而得的四边形，利用三角形中位线定理可证出四边形EFGH是平行四边形．再由线面垂直的判定与性质，可证出EF、EH互相垂直，从而得到四边形EFGH是矩形．
解答：如图设空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，E、F、G、H分别是各边的中点，
四边形EFGH是顺次连接E、F、G、H而得的四边形
取BD中点M，连接AM、CM、AC、BD
∵EH是△ABD的中位线，∴EH∥BD，且EH=BD
同理可得：FG∥BD，且FG=BD
∴EH∥FG且EH=FG，可得四边形EFGH是平行四边形
∵△ABD中，AB=AD，M为BD中点，∴AM⊥BD
同理可得CM⊥BD，
结合AM、CM是平面ACM内的相交直线，可得BD⊥平面ACM
∵AC?平面ACM，∴BD⊥AC
∵EF∥AC且EH∥BD，∴EF⊥EH
由此可得：四边形EFGH是矩形
故选：A
点评：本题给出四边相等的空间四边形，求顺次连接各边中点所得四边形的形状．着重考查了空间垂直、平行位置关系的证明和三角形中位线定理等知识，属于基础题．