Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，对一切，点(n，S_n)在函数f(x)＝x²＋x的图象上．

(Ⅰ)求a_n的表达式；

(Ⅱ)将数列{a_n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为(a₁)，(a₂，a₃)，(a₄，a₅，a₆)，(a₇，a₈，a₉，a₁₀)；(a₁₁)，(a₁₂，a₁₃)，(a₁₄，a₁₅，a₁₆)，(a₁₇，a₁₈，a₁₉，a₂₀)；(a₂₁)，…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b_n}，求b₅＋b₁₀₀的值；

(Ⅲ)设A_n为数列的前n项积，是否存在实数a，使得不等式对一切都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)点在函数上，.………1分 　　当时，.…………2分 　　当时，满足..…………3分 　　(Ⅱ)因为()，所以数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为(2)，(4，6)，(8，10，12)，(14，16，18，20)；(22)，(24，26)，(28，30，32)，(34，36，38，40)；(42)，….每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，故是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20.同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20.故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80.注意到第一组中第4个括号内各数之和是68， 　　所以．又=22，所以=2010.………………8分 　　(Ⅲ)因为，故， 　　所以． 　　又对一切都成立，即 　　对一切都成立．…………9分 　　设，则只需即可． 　　由于，…10分 　　所以，故是单调递减，于是．……12分 　　令，即， 　　解得，或． 综上所述，使得所给不等式对一切都成立的实数存在，的取值范围是．……………………………14分