Question

（本小题满分12分）已知四棱锥，侧面底面，侧面为等边三角形，底面为菱形，且．

（1）求证：；

（2）求平面与平面所成的角（锐角）的余弦值．

Answer 1

(1)证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）解决立体几何的有关问题，空间想象能力是非常重要的，但新旧知识的迁移融合也很重要，在平面几何的基础上，把某些空间问题转化为平面问题来解决，有时很方便，利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.(2)证明证线线垂直，只需要证明直线的方向向量垂直；（3)把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;(4）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化.同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.

试题解析：（1）取中点，连结.

侧面为等边三角形，底面为菱形且

2分

4分

5分

（2）侧面底面，侧面底面=，

，

7分

以为坐标原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴建立空间直角坐标系，设点坐标为

则

8分

设面的法向量为，

则，令，解得 9分

设面的法向量为，同理解得 10分

面与面所成的角（锐角）的余弦值为 12分

考点：1、直线与直线垂直1的判定；2、平面与平面所成角的余弦值.