题目内容

已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量 $数学公式$ =（sinA，1）， $数学公式$ =（1，- $数学公式$ cosA），且 $数学公式$ ⊥ $数学公式$ ．
（1）求角A；
（2）若b+c= $数学公式$ a，求sin（B+ $数学公式$ ）的值．

解：（1）因为 $\text{[math]}$ ⊥ $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0，
∵向量 $\text{[math]}$ =（sinA，1）， $\text{[math]}$ =（1，- $\text{[math]}$ cosA），
∴sinA- $\text{[math]}$ cosA=0．…（2分）
∴sinA= $\text{[math]}$ cosA，∴tanA= $\text{[math]}$ ．…（4分）
又因为0＜A＜π，∴A= $\text{[math]}$ ．…（6分）
（2）（解法1）因为b+c= $\text{[math]}$ a，由正弦定理得sinB+sinC= $\text{[math]}$ sinA= $\text{[math]}$ ．…（8分）
因为B+C= $\text{[math]}$ ，所以sinB+sin（ $\text{[math]}$ -B）= $\text{[math]}$ ．…（10分）
化简得 $\text{[math]}$ sinB+ $\text{[math]}$ cosB= $\text{[math]}$ ，…（12分）
从而 $\text{[math]}$ sinB+ $\text{[math]}$ cosB= $\text{[math]}$ ，即sin（B+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ．…（14分）
（解法2）由余弦定理可得b²+c²-a²=2bccosA，即b²+c²-a²=bc ①．…（8分）
又因为b+c= $\text{[math]}$ a ②，
联立①②，消去a得2b²-5bc+2c²=0，即b=2c或c=2b．…（10分）
若b=2c，则a= $\text{[math]}$ c，可得B= $\text{[math]}$ ；若c=2b，则a= $\text{[math]}$ b，可得B= $\text{[math]}$ ．…（12分）
所以sin（B+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ．…（14分）
分析：（1）利用向量垂直得到数量积为0，可得方程，由此可求角A；
（2）（解法1）利用正弦定理，将边的关系转化为角，利用辅助角公式，可得结论；
（解法2）利用余弦定理，求出边，再求出B，从而可得结论．
点评：本题考查向量知识的运用，考查余弦定理、正弦定理的运用，解题的关键是边角互化．