Question

【题目】已知函数f（x）=x3+ax2+bx图象与直线x﹣y﹣4=0相切于（1，f（1））
（1）求实数a，b的值；
（2）若方程f（x）=m﹣7x有三个解，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解： x=1代入直线方程可得f（1）=﹣3，

函数f（x）=x3+ax2+bx，求导可得f′（x）=3x2+2ax+b，

根据题意可得 ，

解得 ；

（2）解：由（1）可得f（x）=x3+2x2﹣6x，所以方程等价于x3+2x2﹣6x=m﹣7x，即x3+2x2+x=m，

令h（x）=x3+2x2+x，

∴h′（x）=3x2+4x+1=（3x+1）（x+1），

令h′（x）=0，解得x=﹣ 或x=﹣1．当x变化时，h′（x），h（x）的变化情况如下表：

x	（﹣∞，﹣1）	﹣1
h′（x）	+	0	﹣	0	+
h（x）	单调递增	0	单调递减		单调递增

要使x3+2x2+x=m有三个解，需要 ，

所以m的取值范围是

【解析】（1）求出切点坐标，利用导数与函数值，即可得到结果．（2）求出函数的导数，通过导数为0，得到函数的单调性，通过函数的极值点，推出不等式组，得到结果．
【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减即可以解答此题．