Question

【题目】已知椭圆的离心率为，短轴长为2.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设直线与椭圆交于两点， 为坐标原点，若，求原点到直线的距离的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】试题分析：（1）由已知求得，再由椭圆离心率及隐含条件求得，则椭圆方程可求；（2）联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，由判别式大于0求得，再由，可得，从而求得的范围，再由点到直线的距离公式求出原点到直线的距离，则取值范围可求．

试题解析：（1）设焦距为，由已知， ，∴，又，解得，∴椭圆的标准方程为；

（2）设， ，联立得，依题意， ，化简得，①， ， ， ，若，则，即，∴，∴，即，化简得，②，由①②得， ，∵原点到直线的距离，∴，又∵，∴，∴原点到直线的距离的取值范围是