Question

已知函数
（I）讨论在其定义域上的单调性；
（II）当时，若关于x的方程恰有两个不等实根，求实数k的取值范围。

Answer 1

（Ⅰ）1)时，在单调递增；  2)时，在单调递减；在单调递增.  （Ⅱ）

本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用，通过导数与函数单调性的关系的研究得到函数的最值，并从而研究函数与方程的问题的综合试题。
（1）对求导得然后分析根与定义域的位置关系来判定函数的单调性。
（2）要分析方程根的问题，可以转化为图像与图像的交点问题来解决。
解：（Ⅰ）对求导得：；……2分
则显然有
当时，即，时，，则：在单调递增；
当时，即；当时，，则在单调递减；
当时，，则在单调递增；
综上可知：1)时，在单调递增；
2)时，在单调递减；在单调递增.……6分
（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）可知：；于是：
当时，，则：在单调递减；
当时，，则：在单调递增；
当时，，，；
欲使方程恰有两个不等实根，则有：