Question

（本题满分14分）已知函数，.
（1）若函数依次在处取到极值.
①求的取值范围；
②若，求的值.
（2）若存在实数，使对任意的，不等式 恒成立.求正整数 的最大值

Answer 1

（1）①     ②
（2）的最大值为5

(1)①由题意可知方程有三个不同的实数根.
然后再构造函数,利用导数研究g(x)的图像特征，根据其极值和g(x)有三个零点建立关于t的不等式，求出t的取值范围.
②,

然后根据对应系数相等建立关于a,b,c,t的方程，求出a,b,c,t的值.
(1)   解决本小题的关键是做好几个转化：不等式 ，即，
即.转化为存在实数，使对任意的，不等式恒成立.即不等式在上恒成立.
即不等式在上恒成立.然后构造,利用导数研究其最小值即可.
解：（1）①


…………5分
②

,……10分
（2）不等式 ，即，即.
转化为存在实数，使对任意的，不等式恒成立.
即不等式在上恒成立.
即不等式在上恒成立.
设，则.
设，则，因为，有.
故在区间上是减函数.又
故存在，使得.
当时，有，当时，有.
从而在区间上递增，在区间上递减.
又

所以当时，恒有；当时，恒有；
故使命题成立的正整数的最大值为5.